UNIDAD: 4 CALCULEMOS AREAS CIRCULARES Y UTILICEMOS MEDIDAS

ÁREA DEL CÍRCULO Y LA ELIPSE

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁴

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁵

ÁREA DELIMITADA ENTRE DOS FUNCIONES

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo .

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función en el intervalo , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

(left)

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

ÁREA DE SUPERFICIES CURVAS

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.  Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.  Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

MEDIDAS DE CAPACIDAD

   1. El litro.

Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos. La unidad es el litro que es la capacidad de un decímetro cúbico. En el dibujo vemos que el líquido de un recipiente de 1 litro cabe en una caja que tiene un  decímetro por cada lado.

   El litro se escribe abreviadamente l.

   2. Múltiplos del litro.

   Son éstos:

   1 decalitro es igual a 10 litros: 1 dal = 10 l.
   1 hectolitro es igual a 100 litros: 1 hl = 100 l.
   1 kilolitro es igual a 1000 litros: 1 kl = 1000 l.
   1 mirialitro es igual a 10000 litros: 1 mal = 10000 l.

   Contesta a estas preguntas:

Principio del formulario

7 dal =
6 kl =
4 mal =
2 dal =
9 hl =
3kl =
5 mal =

  3.- Submúltiplos del litro.

   Son éstos:

   1 decilitro es igual a 0,1 litro: 1 dl = 0,1 l. 1 litro tiene 10 decilitros.
   1 centilitro es igual a 0,01 litro: 1 cl = 0,01 l. El litro tiene 100 centilitros.
   1 mililitro es igual a 0,001 litro: 1 ml = 0,001 l. El litro tiene 1.000 mililitros.

   Contesta en litros:

4 dl =
1 ml =
3 dl =
6 ml =
5 cl =
3 cl =

   4. Cambio de unidad.

   Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

   Para pasar de kl a hl multiplicaremos por 10 o correremos la coma un lugar a la derecha.
   Ejemplos: 18 kl = 180 hl: 17,35 hl =173,5 dal = 1735 l.

   Para pasar un litro a decalitro dividiremos por 10 o correremos la coma un lugar a la izquierda.
   Ejemplos: 80 l = 8 dal;  1375,2 l = 137,52 dal = 13,752 hl = 1,3752 kl.

   Contesta a litros:   

7 dal =
8,5 hl =
1,35 kl =
250 dl =
3134 cl =
305 ml =

5. Números complejos e incomplejos.

   La capacidad de una olla es 2 l, 7 dl y 5 cl. Este número, formado por distintas unidades se llama número complejo. Ahora bien si sumamos 2 l + (7 dl = 0,7 l ) + 5 cl = 0,05 l ) = 2,75 l. La capacidad de la olla es de 2, 75 litros. Esto es un número incomplejo, porque se expresa en una sola unidad de medida.

   Para convertir un complejo en incomplejo de orden inferior, se escriben de izquierda a derecha, y unas a continuación de otras, las cifras que representan las unidades de los diversos órdenes, comenzando por las de mayor orden. Si faltare algún orden se coloca un cero en el  lugar correspondiente.

   Ejemplo: 7 kl, 6 dal, 3 l y 2 dl  puede escribirse: 70632 dl = 7063,2 l.

   Contesta en litros:

4 mal, 7 hl y 2 cl =
5 kl, 3 dal y 2 dl =
8 hl, 2 l, 3 dl y 7 cl =
3 dal, 4 l y 7 ml =
8 dl, 7 cl y 4 ml =

  6. Conversión de incomplejo ( 75 l ) a complejo ( 7 dal y 5 l ).

   Para convertir un incomplejo de capacidad en complejo, basta tener en cuenta que la cifra de las unidades es del mismo orden que el incomplejo, la de las decenas del orden  inmediatamente superior, etc. Si hubiera cifras cero, se salta el orden que le  corresponda.

      Ejemplo: 5203,65 l puede escribirse: 5 kl, 2 hl, 3 l, 6 dl y 5 cl.

   Contesta en número incomplejo:                      

7,08 l =
304 l =
80,9 hl =
0,65 kl =
602 dl =